Predavaњe III: Razlika potencijala

Rad u elektrostatičkom poљu

Pretpostavimo da se naelektrisaњe premešta u električnom poљu sa Sl. 1 iz tačke l u tačku 2. Na naelektrisaњe u električnom poљu deluje Kulonova sila; pri pomeraњu izvršiće se određeni rad \({A_{12}}\). Jasno, ako se to isto naelektrisaњe premešta po tom putu u obratnom smeru (od tačke 2 ka tački 1) rad meњa samo znak: \(A_{21}=-A_{12}\).

Rad pri premeštaњu naelektrisaњa u elektrostatičkom poљu ne zavisi od oblika puta

Sl. 1  Rad pri premeštaњu naelektrisaњa u elektrostatičkom poљu ne zavisi od oblika puta

Rad pri premeštaњu naelektrisaњa u elektrostatičkom poљu ne zavisi od oblika puta; određen je jedino položajem tačaka 1 i 2 koje su početak i kraj putaњe. Stvarno, dopustimo da to nije tako i da rad \(A_{12}^{(L)}\).pri premeštaњu naelektrisaњa duž konture L na Sl. 1 nije jednak radu \(A_{12}^{({L_1})}\) za konturu \({{\rm{L}}_1}\) - pri čemu obe te konture spajaju iste tačke l i 2. Tada, premeštajući naelektrisaњe po zatvorenoj konturi koja je sastavљena od puteva \({\rm{L}}\) i \({{\rm{L}}_1}\) nalazimo da su električne sile izvršile rad

\begin{equation}
\tag{1}
A_{12}^{(L)} + A_{21}^{({L_1})} = A_{12}^{(L)} - A_{12}^{({L_1})}{}
\end{equation}

koji nije jednak nuli. No to protivureči opštem zakonu održaњa energije. Ako su naelektrisaњa koja izazivaju poљe nepokretna, onda pokretno naelektrisaњa ne dovodi ni do kakvih procesa u okolnim telima. Posle vraćaњa u polaznu tačku 1 nemamo nikakvih izmena u datom sistemu tela i zato ne može biti ni dobitka ni gubitka rada. Dakle, naša pretpostavka nije tačna, pa je stvarno

\begin{equation}
\tag{2}
A_{12}^{(L)} = A_{12}^{({L_1})}{}
\end{equation}

Dokazali smo našu početnu tvrdњu. Još, rad je ravan nuli ako se naelektrisaњe premešta po zatvorenom putu.

Električni napon

U elektrostatičkom poљu premešta se iz tačke l u tačku 2 pozitivno jedinično naelektrisaњe. Rad koji vrše sile poљa na tom premeštaњu ne zavisi od oblika puta. Taj rad zavisi jedino od postojećeg električnog poљa i zato može da služi kao karakteristika poљa koja se naziva razlika potencijala tačaka l i 2 u datom električnom poљu ili električni napon između tačaka l i 2.

z definiciju razlike potencijala

Sl. 2  Uz definiciju razlike potencijala

Ako je \(ds\) element puta, \({E_{\rm{s}}}\) projekcija vektora jačine poљa na pravac \(ds\) (Sl. 2), tada je rad sila poљa pri premeštaњu naelektrisaњa na delu puta \(ds\) jednak \({E_{\rm{s}}}ds\). Zato je razlika potencijala tačaka l i 2 jednaka po definiciji

\begin{equation}
\tag{3}
{{U}_{12}}=\int\limits_{1}^{2}{{{E}_{s}}ds}
\end{equation}

gde se integrali duž proizvoљne konture L koja spaja posmatrane tačke i to u smeru od l do 2.

Neposredna posledica ove definicije glasi: rad \({A_{12}}\) sila poљa pri premeštaњu naelektrisaњa \(q\) iz tačke l u tačku 2 iznosi

\begin{equation}
\tag{4}
{A_{12}} = q{U_{12}}
\end{equation}

Fizički smisao ima jedino razlika potencijala ili napon između dve tačke poљa pošto je rad određen samo tada kada su zadane dve tačke – početak i kraj puta. Bez obzira na to često se govori o potencijalu ili naponu u datoj tački – podrazumeva se da je jedna tačka unapred izabrana. Često se ta tačka bira "u beskonačnosti" tj. dovoљno daleko od svih naelektrisanih tela.

Ako jedinično naelektrisaњe pomeramo po zatvorenoj konturi, na primer prvo iz tačke l do tačke 2 po konturi L (Sl. 1) a zatim od 2 do l duž \({{\rm{L}}_1}\), rad će biti

\begin{equation}
\tag{5}
{U_{12}} + {U_{21}} = {U_{12}} - {U_{12}} = 0{}
\end{equation}

U elektrostatičkom poљu napon duž zatvorene konture uvek je jednak nuli.

Posledњe tvrđeњe izražava važno svojstvo elektrostatičkog poљa. Upravo se zbog toga za elektrostatičko poљe može uvesti pojam razlike potencijala koja je jednoznačno određena poљem (ne zavisi od oblika puta) i zato ta razlika može služiti kao karakteristika poљa.

To svojstvo elektrostatičkog poљa moguće je ovako izraziti

\begin{equation}
\tag{6}
\oint {{E_s}} \,ds = 0
\end{equation}

gde kružić na integralu označava da se integraљeњe izvodi po zatvorenoj konturi. Krivolinijski integral nekog vektora duž zatvorene konture zove se cirkulacija vektora duž te konture. Cirkulacija jačine električnog poљa duž proizvoљne konture jednaka je nuli.

Opisivaњe električnog poљa pomoću razlike potencijala daleko je prostije nego pomoću jačine poљa. Jačina poљa je vektor i zato u svakoj tački poљa treba znati tri skalarne veličine – komponente vektora. Potencijal je skalar i u svakoj tački u potpunosti je određen samo brojnom vrednošću.

Još, u eksperimentu je znatno lakše izmeriti potencijal nego jačinu poљa. Nema udobnih metoda za mereњe jačine poљa. Za mereњe razlike potencijala, naprotiv, postoje mnogobrojne metode i razni pribori. Zato je i znatno pogodnije opisivati električno poљe potencijalom.

Jedinica razlike potencijala u SI sistemu je volt (V). Volt je џul kroz kulon.

Primetimo: ako koristimo formulu (2), energiju možemo izraziti u električnim jedinicama umesto u mehaničkim (erg, џul itd.). Takva električna jedinica je elektronvolt (eV). To je ona energija koju dobija čestica naelektrisaњa \(e = 1,6 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{C}}\) (elektron) kad prelazi u vakuumu napon od l V. Energija l eV jednaka je, očigledno,\(1\,{\rm{eV}} = 1,6 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{J = 1}}{\rm{,6}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 12}}{\rm{erg}}\). U elektronvoltima obično izražavamo energiju raznih elementarnih čestica (elektrona, protona itd.). Pri tom upotrebљavamo i veće jedinice energije: kiloelektronvolt (\({\rm{keV}} = {10^3}\)eV), megaelektronvolt (\({\rm{MeV}} = {10^6}\)eV), i druge.

Zemљa je provodnik

Ako u nekom provodniku ne teče struja, jačina poљa \({E_{\rm{i}}}\). u proizvoљnoj tački u provodniku jednaka je nuli. Tada je i vektor jačine poљa na površini provodnika normalan na površinu. Otuda sledi da za premeštaњe naelektrisaњa iz jedne tačke provodnika u neku drugu ne treba vršiti nikakav rad. To znači da nema napona između dve proizvoљne tačke kako u provodniku tako i na њegovoj površini.

Ako nema struje, sve tačke provodnika imaju isti električni potencijal.

Zemљa je takođe provodnik. Mada u zemљi teku struje, može se smatrati da su naelektrisaњa Zemљe blizu ravnoteže pošto su struje male. U mnogim slučajevima je zato moguće uzeti da sve tačke na Zemљi imaju isti potencijal. To je razlog da često uzimamo Zemљu za referentnu tačku pri mereњu potencijala, pa onda govorimo o potencijalu u odnosu na Zemљu.

Ako dva provodnika spojimo metalnom žicom, oba provodnika i žica obrazuju jedinstven provodnik. Ako je do momenta spajaњa između provodnika postojala razlika potencijala, neće biti moguća ravnoteža naelektrisaњa. Jačina poљa \(E\) u žici neće biti jednaka nuli i slobodni elektroni u žici počeće da se kreću, tj. javљa se električna struja. Ta struja će postojati sve dok se ne izjednače potencijali provodnika.

Veza između napona i jačine električnog poљa

Ako je poznata raspodela potencijala, moguće je naći i jačinu električnog poљa u svakoj tački.

 

Uz izvođeњe relacije između razlike potencijala i jačine poљa

Sl. 3  Uz izvođeњe relacije između razlike potencijala i jačine poљa

Pretpostavimo da se naelektrisaњe \({q_1}\) premešta iz tačke l u tačku 2 pravolinijskim odsečkom \(\Delta \vec s\) (videti Sl. 3). Rad električnih sila \(\Delta A\) je očevidno:

\begin{equation}
\tag{7}
\Delta A = {E_{\rm{s}}}\Delta s{}
\end{equation}

gde je \({E_{\rm{s}}}\) projekcija vektora jačine \(\vec E\) na pravac\(\Delta \vec s\). Taj isti rad možemo izraziti pomoću napona \({U_{12}}\) između tačaka l i 2:

\begin{equation}
\tag{8}
\Delta {A_{12}} = {q_1}\Delta {U_{21}}
\end{equation}

Uvedimo sada priraštaj napona \(\Delta {U_{21}}\) (razlika potencijala tačke 2 (kraj puta) i tačke l (početak puta)) i označimo taj priraštaj prosto \(\Delta U\). Tada je

\begin{equation}
\tag{9}
\Delta U = \Delta {U_{21}} =  - \Delta {U_{12}}
\end{equation}

Izjednačavajući dva izraza za rad dobijamo za jačinu električnog poљa

\begin{equation}
\tag{10}
{E_{\rm{s}}} =  - \frac{{\Delta U}}{{\Delta s}}{}
\end{equation}

U nehomogenom poљu, dve tačke l i 2 moramo izabrati tako da su one blizu jedna drugoj. Prelazeći na graničnu vrednost \(\Delta s \to 0\) dobijamo izraz

\begin{equation}
\tag{11}
{E_s} =  - \frac{{dU}}{{ds}}{}
\end{equation}

Izvod na desnoj strani predstavљa brzinu promene potencijala u datom pravcu. Vidimo da je projekcija vektora jačine na dati pravac jednaka brzini promene potencijala u tom pravcu, sa promeњenim znakom.

Gradijent neke skalarne veličine \(\varphi \) je vektor čiji se pravac poklapa sa pravcem najbržeg rasta veličine \(\varphi \). Intenzitet toga vektora jednak je promeni \(\varphi \) pri premeštaњu za jedinicu dužine u pravcu najbržeg rasta. Taj vektor se označava simbolom grad\(\varphi \). Iz rečenog proizilazi da je jačina električnog poљa jednaka gradijentu potencijala sa promeњenim znakom:

\begin{equation}
\tag{12}
\vec E =  - {\rm{grad}}U{}
\end{equation}

Znajući raspodelu potencijala možemo odrediti i projekciju jačine poљa na bilo koji pravac; posebno, možemo naći projekcije \(\left( {{E_{\rm{x}}},{E_{\rm{y}}},{E_{\rm{z}}}} \right){}\) vektora \(\vec E\) u Dekartovom sistemu.

U ravnom kondenzatoru \(U\) je napon među oblogama i \(d\) debљina kondenzatora. U tom prostom slučaju veza (12) se svodi na

\begin{equation}
\tag{13}
E = \frac{U}{d}{}
\end{equation}

Jedinica jačine električnog poљa je volt po metru (V/m).

Između dva provodnika postoji električno poљe kad god postoji električni napon. Kada želimo da razelektrišemo neki provodnik, spajamo ga sa uzemљenim predmetom (dovodimo ga na potencijal Zemљe, koji je uslovno nulti potencijal).

Ekvipotencijalne površine

U električnom poљu, tačke istog potencijala čine ekvipotencijalne površine. Pomoću ekvipotencijalnih površina mogu se grafički predstavљati električna poљa. U preseku sa ravni crteža ekvipotencijalne površine daju ekvipotencijalne linije; one često daju jasnu predstavu o tom kako se meњa potencijal u datom poљu.

Ekvipotencijalne linije (pune) i linije sile (isprekidane) poљa dve jednoimeno naelektrisane kugle

Sl. 4 Ekvipotencijalne linije (pune) i linije sile (isprekidane) poљa dve jednoimeno naelektrisane kugle

Pošto se sve tačke ekvipotencijalne površine nalaze na jednakom potencijalu, pri pomeraњu naelektrisaњa po њoj ne vrši se rad. To znači da je sila koja deluje na naelektrisaњe sve vreme normalna na pravac pomeraњa – linije sile su uvek normalne na ekvipotencijalne površine. Gustina ekvipotencijalnih linija proporcionalna je jačini poљa: tamo gde je veća jačina poљa tamo su i ekvipotencijalne linije bliže jedna drugoj.

Površina provodnika bez struje je jedna ekvipotencijalna površina.

Elektrometar

Električni napon se može prosto meriti instrumentom koji se zove voltmetar. Na Sl. 5 predstavљen je jedan od najprostijih elektrostatičkih voltmetara - elektrometar. On ima laku aluminijsku kazaљku a koja je pričvršćena za metalni štap b. Kazaљka se može okretati oko horizontalne ose. Štap i kazaљka su u metalnom sudu c i dobro su izolovani od suda pomoću čepa d od neprovodnog materijala (ćilibar, kvarc, ebonit itd). Pribor ima skalu na kojoj se čita ugao otklona kazaљke.

Elektrometar sa kazaљkom (levo); mereњe napona između naelektrisanog provodnika i zemљe (desno)

Sl. 5  Elektrometar sa kazaљkom (levo);  mereњe napona između naelektrisanog provodnika i zemљe (desno)

Pogledajmo prvo kako se meri napon između dva provodnika. Telo elektrometra treba spojiti sa jednim provodnikom a štap sa drugim. Ako treba izmeriti napon između naelektrisanog provodnika i Zemљe tada telo elektrometra uzemљimo, a štap spajamo pomoću metalne žice sa naelektrisanim provodnikom.

Otklon kazaљke zavisi od napona između kazaљke i suda (tela elektrometra). Na kazaљku deluju sile zato što unutra postoji električno poљe. To poљe zavisi samo od napona, jer sud ima stalan oblik. Jedan te isti napon između kazaљke i suda daje uvek jednu te istu jačinu poљa na površini kazaљke pa će biti i jedna te ista sila koja tera kazaљku na otklaњaњe. To i znači da elektrometar meri napon. Pribor se može graduisati, tj. odrediti kojim naponima odgovaraju pojedini uglovi otklona kazaљke.

Opisani elektrometar pogodan je za mereњe visokih napona (hiљade i desetine hiљada volti), za demonstracije u učionicama i sl. Za mereњe malih napona, i uopšte finija mereњa, postoje elektrometri drugih tipova.

Elektrometre treba prethodno kalibrisati (graduisati). U tu svrhu se često koriste normalni elementim koji predstavљaju galvanske elemente napravљene od takvih materijala da obezbeđuju veoma veliku stabilnost napona među elektrodama. Taj napon je bio pažљivo izmeren i danas je dobro poznat pa su normalni elementi zgodni etaloni napona koje je lako reprodukovati u svakoj laboratoriji. Normalni elementi igraju u električnoj mernoj tehnici onu ulogu koju za mereњe mehaničkih veličina imaju etaloni dužine (metar) i mase (kilogram). Često je u upotrebi kadmijumov normalni element. Њegov napon na 20°C iznosi 1,0186 V.

Kadmijumov normalni elemenat

Sl. 6  Kadmijumov normalni elemenat

Na sobnim temperaturama napon tog elementa skoro ne zavisi od temperature: ako se temperatura poveća za 1°C napon se promeni (smaњi) za maњe od 0,0001 V.

Potencijal tačkastog naelektrisaњa

Nađimo potencijal električnog poљa oko tačkastog naelektrisaњa q. Uočimo neku tačku u tom poљu koja je na rastojaњu r od naelektrisaњa i nađimo њen potencijal u odnosu na tačku u beskonačnosti. Možemo zamisliti da se probno naelektirisaњe premešta iz tačke r u beskonačnost duž radijusa (linije sile). Tada je

\begin{equation}
\tag{14}
U = \int\limits_r^\infty  {E\,dr = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}} \int\limits_r^\infty  {\frac{{dr}}{{{r^2}}}}  = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{q}{r}{}
\end{equation}

Potencijal opada obrnuto proporcionalno prvom stepenu rastojaњa od naelektrisaњa.

Postupajući na sličan način, možemo naći raspodelu potencijala i u drugim poљima ako je poznata jačina poљa u svakoj tački. Razmotrimo neke praktično važne primere.

Potencijal sfernog kondenzatora

Date su dve elektrode, koncentriče sfere radijusa \(a\) (unutrašњi) i \(b\) (spoљašњi). Jačinu poљa  između takvih elektroda već smo izračunali. Razlika potencijala između unutrašњe sfere i neke tačke u kondenzatoru koja je na rastojaњu r od centra kondenzatora iznosi

\begin{equation}
\tag{15}
U = \int\limits_a^r {E\,dr = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}} \int\limits_a^r {\frac{{dr}}{{{r^2}}}}  = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{r}} \right){}
\end{equation}

U ovoj formuli može se izraziti naelektrisaњe q pomoću razlike potencijala \({U_0}\) između elektroda:

\begin{equation}
\tag{16}
{U_0} = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right){}
\end{equation}

Tako dobijamo

\begin{equation}
\tag{17}
U={{U}_{0}}\frac{{1}/{a-{1}/{r}\;}\;}{{1}/{a-{1}/{b}\;}\;}
\end{equation}

Potencijal ravanskog kondenzatora

Izračunajmo razliku potencijala između pozitivno naelektrisane obloge i proizvoљne tačke na rastojaњu x od њe. Jačina poљa u ravanskom kondenzatoru nam je već poznata, pa pišemo

\begin{equation}
\tag{18}
U = \int\limits_0^x {E\,dx = \frac{\sigma }{{{\varepsilon _0}}}} \int\limits_0^x {dx}  = \frac{\sigma }{{{\varepsilon _0}}}x{}
\end{equation}

Neka je \({U_0}\) napon između elektroda; onda je

\begin{equation}
\tag{19}
{U_0} = \frac{\sigma }{{{\varepsilon _0}}}d{}
\end{equation}

gde je \(d\) debљina kondenzatora. To znači da je

\begin{equation}
\tag{20}
U = {U_0}\frac{x}{d}{}
\end{equation}

U ravanskom kondenzatoru potencijal se meњa po linearnom zakonu.

Ekvipotencijalne površine i linije sile ravanskog kondenzatora

Sl. 7  Ekvipotencijalne površine i linije sile ravanskog kondenzatora

U ovim izračunavaњima nismo uzimali u obzir deformaciju električnog poљa blizu krajeva ploča. Dobijene formule primenљive su samo za centralne delove kondenzatora. Električno poљe ravanskog kondenzatora prikazano je na Sl. 7.

Potencijal cilindričnog kondenzatora

Bez dokaza navedimo da je formula potencijala u ovom slučaju

\begin{equation}
\tag{21}
U={{U}_{0}}\frac{\ln \left( {r}/{a}\; \right)}{\ln \left( {b}/{a}\; \right)}
\end{equation}

Ovde je r rastojaњe od posmatrane tačke do ose cilindara, a je radijus unutrašњeg cilindra, b radijus spoљašњeg cilindra , a \({q_1}\) naelektrisaњe cilindra po jedinici dužine. Ukupni napon između cilindara je \({U_0}\). Potencijal se u cilindričnom kondenzatoru meњa po logaritamskom zakonu.

Potencijal makroskopskih tela

Uzmimo da postoji u prostoru nekoliko tačkastih naelektrisaњa. Po principu superpozicije, rezultirajuće poљe je zbir poљa pojedinih naelektrisaњa. Zato je i potencijal toga poљa jednak zbiru potencijala pojedinih naelektrisaњa:

\begin{equation}
\tag{22}
U = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\sum\limits_{\rm{i}} {\frac{{{q_{\rm{i}}}}}{{{r_{\rm{i}}}}}} {}
\end{equation}

U je ovde potencijal rezultantnog poљa u posmatranoj tački u odnosu na beskonačnost, r je rastojaњe te tačke od \(i\)-tog naelektrisaњa, a sumiraњe se izvodi po svim tačkastim naelektrisaњima.

Slično se mogu dobiti i potencijali poљa krupnih naelektrisanih tela. Na početku treba naći potencijal beskonačno malog elementa zapremine tela \(d\tau \), razmatrajući ga kao tačkasto naelektrisaњe. Taj potencijal je

\begin{equation}
\tag{23}
U = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{\rho \,d\tau }}{r}{}
\end{equation}

gde je \(\rho \) zapreminska gustina naelektrisaњa a r rastojaњe od razmatrane tačke poљa do \(d\tau \). Ukupni potencijal onda iznosi

\begin{equation}
\tag{24}
U = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\int\limits_\tau  {\frac{{\rho \,d\tau }}{r}} {}
\end{equation}

gde se integrali po čitavoj zapremini \(\tau \) naelektrisanog tela.

Ako se naelektrisaњa nalaze jedino na površini tela, tada je

\begin{equation}
\tag{25}
U = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\int\limits_S {\frac{{\sigma \,dS}}{r}} {}
\end{equation}

Ovde je \(\sigma \) površinska gustina naelektrisaњa, dS elemenat površine tela, r rastojaњe posmatrane tačke poљa do dS, a integrali se po čitavoj naelektrisanoj površini S.

Električno poљe dipola

Potencijal u nekoj tački poљa a je (videti Sl. 8)

\begin{equation}
\tag{26}
{U_0} = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{r_1}}}} \right) = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{r_1} - {r_2}}}{{{r_1}{r_2}}}{}
\end{equation}

Prvo pretpostavimo da je dužina dipola \(\ell \) veoma mala u poređeњu sa rastojaњima \({r_1},\;{r_2}\) do tačke a (elementarni dipol). Tada je

\begin{equation}
\tag{27}
{r_1} - {r_2} \approx \ell \,\cos \alpha ,\,\,\,\,{r_1}{r_2} \approx {r^2}{}
\end{equation}

Uz izračunavaњe električnog poљa dipola

Sl. 8  Uz izračunavaњe električnog poљa dipola

pa izraz za potencijal dobija oblik

\begin{equation}
\tag{28}
U = \frac{q}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{p\,\cos \alpha }}{{{r^2}}}{}
\end{equation}

Ovde je p dipolni moment, \(\alpha \) je ugao između pravca dipolnog momenta i pravca radijus-vektora \(\vec r\) koji spaja dipol i posmatranu tačku poљa.

Linije sile elementarnog dipola

Sl. 9  Linije sile elementarnog dipola

 Koristićemo polarne kordinate r i \(\alpha \) sa početkom u tački položaja dipola; upravimo polarnu osu duž dipolnog momenta \(\vec p\). Komponenta jačine električnog poљa u pravcu \(\vec r\) je

\begin{equation}
\tag{29}
{E_{\rm{r}}} =  - \frac{{\partial U}}{{\partial r}} = \frac{{p\,\cos \alpha }}{{2\pi {\varepsilon _0}\,{r^3}}}{}
\end{equation}

Ugaona komponenta je

\begin{equation}
\tag{30}
{E_{\rm{\alpha }}} =  - \frac{{\partial U}}{{r\partial \alpha }} = \frac{{p\,\sin \alpha }}{{4\pi {\varepsilon _0}\,{r^3}}}{}
\end{equation}

Ukupni intenzitet jačine poљa u tački (\(r,\alpha \)) biće

\begin{equation}
\tag{31}
E = \sqrt {E_{\rm{r}}^2 + E_{\rm{\alpha }}^2}  = \frac{p}{{4\pi {\varepsilon _0}\,{r^3}}}\sqrt {3{{\cos }^2}\alpha  + 1}
\end{equation}

Vektor jačine zaklapa sa pravcem \(\vec r\) ugao\(\beta \):

\begin{equation}
\tag{32}
{\rm{tg}}\beta  = \frac{{{E_{\rm{\alpha }}}}}{{{E_{\rm{r}}}}} = \frac{1}{2}{\rm{tg}}\alpha {}
\end{equation}

Ove formule u potpunosti određuju jačinu poљa po intenzitetu i pravcu u svakoj tački poљa. Na Sl. 9 prikazane su linije sile poљa oko elementarnog električnog dipola.

Ekraniraњe poљa

Kada nema električne struje, naelektrisaњa se raspodeљuju jedino po površini provodnika.

Ako zamislimo da smo iz punog komada provodnika udaљili unutrašњi deo, dobijamo šupaљ zatvoreni provodnik. Pošto unutrašњi deo nije bio naelektrisan, њegovo udaљavaњe ne meњa ni raspodelu poљa ni raspodelu naelektrisaњa u preostalom delu provodnika. Zato će ravnotežna raspodela naelektrisaњa u punom provodniku biti ista kao i u šupљem provodniku, tj. naelektrisaњa će biti samo na spoљašњoj površini. Jačina poљa biće jednaka nuli u svakoj tački zida i u svakoj tački u šupљini.

Ako se zatvoreni šupљi metalni provodnik nalazi u električnom poљu (gorњa šema na Sl. 10), na њemu će se pojaviti indukovana naelektrisaњa. Ta naelektrisaњa su u celosti na spoљnoj površini a električno poљe i u metalu i u šupљini jednako je nuli. Šupљi metalni provodnik ekranira električno poљe svih spoљašњih naelektrisaњa.

(a) Spoљašњe naelektrisaњe van metala i (b) u rupi u metalu

Sl. 10  (a) Spoљašњe naelektrisaњe van metala i (b) u rupi u metalu

To se često koristi u praksi za elektrostatičku zaštitu. Da bi zaštitili osetљive električne pribore od perturbacionog delovaњa spoљnih električnih poљa, pribore stavљamo u zatvorene metalne kutije koje uzemљimo.

Primetimo da zatvoreni šupљi provodnik ekranira jedino poљe spoљašњih naelektrisaњa. Ako se električna naelektrisaњa nalaze u šupљini, indukovana naelektrisaњa će se pojaviti ne samo na spoљašњoj površini provodnika no i na unutrašњoj (ista slika, doњa šema). Raspodela tih indukovanih naelektrisaњa biće takva da ukupno poљe, jednako sumi poљa od naelektrisaњa u šupљini i indukovanih naelektrisaњa u svakoj tački u metalu bude jednako nuli (uslov ravnoteže). Međutim, u šupљini poљe neće biti jednako nuli i postojaće linije sile između naelektrisaњa u šupљini i indukovanih naelektrisaњa na unutrašњoj površini. Indukovana naelektrisaњa na spoљašњoj površini izazivaju poљe u spoљašњem prostoru, i zato zatvorena provodna šupљina ne ekranira poљe električnih naelektrisaњa koja su u њoj.

U vezi sa ovim je i važni praktični način predaje naelektrisaњa od jednog provodnika drugom. Pretpostavimo da treba predati naelektrisaњe s metalnog provodnika na elektrometar. Da bi ta predaja bila potpuna, elektrometar se spaja sa šupљim provodnikom koji je sličan po obliku zatvorenoj šupљini, na primer sa metalnim cilindrom i unosi se naelektrisani provodnik u tu šupљinu. Provodnik se potpuno razelektriše i њegovo naelektrisaњe bez ostatka prelazi na elektrometar.

Kevendišov eksperiment

Ako bi se sila interakcije tačkastih naelektrisaњa odvijala po zakonu

\begin{equation}
\tag{33}
F \sim \frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^{2 \mp \delta }}}}
\end{equation}

pri čemu \(\delta \) nije nula – ne bi važila Gausova teorema u obliku koji smo izučili. Naelektrisaњa bi se sada raspodeљivala ne samo po površini nego i po zapremini provodnika (dokaz izlazi iz okvira ove kњige). Proveravajući u eksperimentu ima li stvarno u zapremini provodnika slobodnog naelektrisaњa može se proveriti Kulonov zakon, i to znatno uspešnije nego u

Kevendišov eksperiment

Sl. 11  Kevendišov eksperiment

eksperimentu sa torzionom vagom. Takve eksperimente prvi je postavio Kevendiš. U tim opitima metalna kugla l (Sl. 11) bila je pričvršćena za izolovani nosač 2. Dve metalne polusfere 3, izolovane od Zemљe, bile su pričvršćene za pokretne nosače (koji nisu prikazani na slici) i mogle su biti spojene u jednu sferu koja obuhvata kuglu 1. Na jednoj od polusfera postojao je mali otvor kroz koji je mogla da se uvuče metalna žica 4 koja je vezana izolatorskom niti 5; žicom se mogla spojiti kugla sa sferom a da se pribor ne razelektriše.

Sam eksperiment se sastojao u sledećem. Polusfere 3 se spoje i žicom 4 dovedu u kontakt sa kuglom l i naelektrišu. Količina naelektrisaњa na sferi meri se odgovarajućim voltmetrom. Žica 4 se zatim ukloni pomoću niti 5, sfere se razmaknu i uzemљeњem razelektrišu. Posle toga instrumentom proveravamo ima li na kugli l ikakvog naelektrisaњa. Opit je uvek pokazivao da na kugli nema ni traga od naelektrisaњa.

Zbog velikog principijelnog značaja pitaњa o zakonu interakcije naelektrisaњa, slične eksperimente je ponovio, u poboљšanoj verziji, Maksvel. Našao je da  ne prelazi, ako uopšte postoji, broj 1/21600. Danas je Kulonov zakon za makroskopska rastojaњa proveren i znatno tačnije. (Koristeći Internet studenti mogu da potraže najnovije podatke o staњu eksperimenata Kevendišovog tipa.)

Efekt šiљka

Ispitujući raspodelu naelektrisaњa na provodniku oblika kao na Sl. 12, primećujemo da površinska gustina naelektrisaњa nije ista u svim tačkama površine: bliska je nuli u udubљeњa (oblast a), dobija najveću vrednost na šiљku (tačka c) i ima neku sredњu vrednost na bokovima (b).

Jačina poљa E proporcionalna je površinskoj gustini naelektrisaњa . Zato je i jačina poљa blizu površine provodnika složene forme takođe veoma nejednaka. Ona je naročito velika u blizini delova s malim radijusom krivine, tj. kod šiљaka.

To dovodi do svojevrsne pojave "isticaњa" naelektrisaњa sa metalnih šiљaka. Ako spojimo izolovani metalni šiљak sa izvorom visokog napona,

Jačina električnog poљa i površinska gustina naelektrisaњa metalnog šiљka; uzrok umicaњa naelektrisaњa

Sl. 12  Jačina električnog poљa i površinska gustina naelektrisaњa metalnog šiљka; uzrok umicaњa naelektrisaњa

naelektrišu se izolovani provodnici u okolini. Stavљajući blizu šiљka elektrometar koji je spojen sa metalnom pločom možemo videti da se ploča naelektriše do priličnih napona i to naelektrisaњem istog znaka kao što je na šiљku. Ako, obratno, prethodno naelektrišemo ploču s elektrometrom a šiљak uzemљimo, primičući šiљak ka ploči vidimo da se ona razelektriše: indukovana naelektrisaњa ističu sa šiљka i neutralizuju naelektrisaњe ploče.

Uzrok te pojave leži u velikoj jačini poљa kod šiљka. Kada ta jačina postane dovoљno velika javљa se jonizacija u okolnom vazduhu pa nastaju pozitivni i negativni joni, šema na slici desno. Joni koji imaju isti znak kao i naelektrisaњe šiљka kreću se od šiљka; joni sa suprotnim znakom naelektrisaњa kreću se ka šiљku i smaњuju њegovo naelektrisaњe.

Joni koji se udaљavaju od šiљka povlače u svom kretaњu i neutralne molekule vazduha pa se javљa usmereno kretaњe vazduha od šiљka, ili električni vetar. Možemo ga otkriti prinoseći šiљku upaљenu sveću: plamen svece se jako povija na suprotnu stranu od šiљka a može biti i ugašen električnim vetrom. Razmotreno svojstvo zašiљenih provodnika koristi se u praksi za uklaњaњe naelektrisaњa sa raznih uređaja.

Dejstvo šiљka na plamen sveće

Sl. 13  Dejstvo šiљka na plamen sveće

Ako hoćemo da sprečimo isticaњe naelektrisaњa kod mašina koje rade pod visokim električnim naponom, metalne delove treba pažљivo da zaoblimo a krajeve metalnih štapova da snabdemo glatkim kuglicama; šiљci bi izazvali isticaњe naelektrisaњa i oštećeњe izolacije.

Elektrostatički generator

Okolnost da naelektrisaњa uvek teže da se raspodele jedino na spoљašњoj površini provodnika koristimo za konstruisaњe efikasnih elektrostatičkih generatora visokih napona. Princip dejstva objašњava se opitom koji je skiciran na Sl. 14.

Spojimo izolovani provodnik a sa izvorom napona (od 2 do 3 hiљade volti) i stavimo u blizini šupљi izolovani provodnik b koji je u vezi sa elektrometrom. Spojimo za momenat provodnike a i b metalnim štapom (sa izolovanom drškom). Provodnik b naelektrisaće se do napona provodnika a.

Princip dejstva elektrostatičkog generatora

Sl. 14  Princip dejstva elektrostatičkog generatora

Uzmimo sada metalnu kuglu c koja je pričvršćena za izolatorsku dršku i dodirnimo њome provodnik a i zatim unutrašњu površinu provodnika b. Naelektrisaњe kugle c preći će potpuno na provodnik b pa će se napon na b povećati. Ponavљajući taj proces više puta možemo dobiti napon na provodniku b mnogo veći nego na provodniku a.

To se i događa u elektrostatičkom generatoru. On se sastoji iz velikog šupљeg provodnika 1 kojeg vidimo na Sl. 15 na izolacionom stubu 2. Postoji beskonačna traka 3 od gumizirane tkanine koja se kreće na dva točka 4 koji igraju ulogu kugle c na sl. 14. Traka se elektriše sistemom šiљaka 5 koji su u vezi sa jednim od polova izvora napona čiji je drugi kraj uzemљen. Nasuprot šiљaka, sa druge strane trake, stavљa se uzemљena ploča 6 koja povećava broj naelektrisaњa isteklih sa šiљaka 5 na traku. Prolazeći pored sistema šiљaka 7, spojenih sa loptom l gumena traka odaje њima donesena naelektrisaњa i ona potpuno prelaze na spoљnu površinu lopte nezavisno od toga kakav je napon između lopte i zemљe.

Maksimalni napon koji se praktično može dobiti na lopti određen je umicaњem naelektrisaњa sa lopte (uglavnom zbog jonizacije vazduha). Napon lopte prestaje da se povećava kada naelektrisaњe koje donosi traka u jedinici vremena (struja trake) postaje jednako naelektrisaњu koje se gubi umicaњem (struji umicaњa). Zato se u praksi teži da se struja trake uveća koliko se može više.

Elektrostatički generator

Sl. 15  Elektrostatički generator

Danas se elektrostatički generatori primeњuju za ubrzaњe naelektrisanih čestica (elektrona i jona). Mogu dati napone od 3 do 5 miliona volti. Visina takvih generatora je 10 do 15 m a prečnik lopte iznosi nekoliko metara. Elektrostatičke generatore stavљamo ponekad u sobe sa komprimovanim gasom pošto sa povećaњem pritiska raste i napon jonizacije gasa. Elektrostatički generatori su danas i sjajne pedagoške mašine, za demonstriraњe mnogih efekata u elektrostatici i srodnim oblastima. Dva primera data su na slikama 16 i 17.

Profesor Babović demonstrira jako električno poљe

Sl. 16  Profesor Babović demonstrira jako električno poљe oko kugle školskog Van de Grafovog generatora

Školski Van de Grafov generator u pogonu; električni proboj u vazduhu

Sl. 17  Školski Van de Grafov generator u pogonu; električni proboj u vazduhu

Оставите одговор