Predavaњe II: Električno poљe

Dejstvo na blizinu

U istoriji fizike postojala su dva odgovora na pitaњe: Kako se prenosi sila interakcije? Trenutno (koncepcija dejstva na daљinu), ili konačnom brzinom (koncepcija dejstva na blizinu)?

Savremena fizika priznaje jedino ideju dejstva na blizinu i odbacuje dejstvo na daљinu. Stvarno, dopustiti mogućnost predavaњa sile, interakcije, tj. kretaњa, kroz prazan prostor, bez učešća materije, znači dopustiti mogućnost kretaњa bez materije što je besmisleno.

Na taj način, za shvataњe nastajaњa i predaje sile koja se javљa između nepokretnih tela (naelektrisanih) nužno je pretpostaviti da oko naelektrisaњa postoji neki fizički agens koji omogućava interakciju. Taj agens jeste električno poљe. Kada se na nekom mestu pojavi naelektrisaњe, oko њega se pojavi električno poљe.

Osnovno vojstvo električnog poљa oko datog naelektirsaњa sastoji se u tome što na svako drugo naelektrisaњe u tom poљu deluje sila.

Električna i magnetska poљa mogu se transformisati jedno u drugo i da je svako od њih samo poseban slučaj opštijeg, elektromagnetskog poљa. Učićemo da električna (i magnetska) poљa mogu da postoje i bez naelektrisaњa (i struja) koja proizvode ta poљa.

U elektromagnetskom poљu treba tražiti osnovni uzrok električnih i magnetskih pojava.

Elektromagnetsko poљe ima i prenosi određenu energiju. Ono poseduje količinu kretaњa i masu. Elektromagnetsko poљe nije apstraktni pojam koji smo uveli da opisujemo električne i magnetske interakcije, već predstavљa objektivnu realnost koja poseduje fizička svojstva. Ono je određeni oblik materije koji omogućava električne i magnetske interakcije.

Savremena fizika pojmom poљa širi predstave o dejstvu na blizinu i prenosi ga na nemehaničke pojave.

Jačina električnog poљa

Za kvantitativno opisivaњe električnog poљa služi posebna fizička veličina – jačina električnog poљa.

Posmatrajmo tačkasto naelektrisaњe \(q\) i u električno poљe toga naelektrisaњa unesimo drugo tačkasto probno naelektrisaњe \({{q}_{1}}\). Na probno naelektrisaњe dejstvovaće sila \(F\). Ta sila zavisi od položaja tačke u kojoj je probno naelektrisaњe. Proporcionalna je naelektrisaњu \({{q}_{1}}\), po Kulonovom zakonu. Odnos \(F/{{q}_{1}}\) očito ne zavisi od izbora probnog naelektrisaњa i karakteriše električno poљe u toj tački gde se nalazi probno naelektrisaњe. Ta veličina je i dobila naziv jačina električnog poљa.

Označavajući jačinu poљa sa E imamo neposredno iz definicije \(E=F/{{q}_{1}}\)

\begin{equation}
\tag{1}
E=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{q}{{{r}^{2}}}
\end{equation}

Jačina poљa tačkastog naelektrisaњa opada obrnuto proporcionalno kvadratu rastojaњa od naelektrisaњa.

Smer jačine el-ektričnog poљa koje potiče od pozitivnog (gore) i negativnog (dole) naelektrisaњa

Sl. 1 Smer jačine električnog poљa koje potiče od pozitivnog (gore) i negativnog (dole) naelektrisaњa

Pošto je električno naelektrisaњe skalar a sila vektor, jačina poљa koja se dobija deљeњem vektora sa skalarom jeste vektor. Pravac toga vektora određuje pravac sile koja dejstvuje na pozitivno naelektrisaњe smešteno u datu tačku poљa. Tako, na primer, ako je poљe izazvano pozitivnim naelektrisaњem vektor jačine usmeren je duž radijus-vektora od naelektrisaњa prema okolnom prostoru (odbijaњe pozitivnog probnog naelektrisaњa); ako je poљe izazvano negativnim naelektrisaњem vektor jačine usmeren je ka naelektrisaњu (Sl. 1).

Koristeći Kulonov zakon u vektorskom obliku možemo napisati izraz za jačinu električnog poљa tačkastog naelektrisaњa takođe u vektorskom obliku:

\begin{equation}
\tag{2}
\vec{E}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{q}{{{r}^{3}}}\vec{r}
\end{equation}

Ovde je \(r\) rastojaњe od naelektrisaњa do posmatrane tačke poљa a \(\vec{r}\) radijus-vektor usmeren od naelektrisaњa ka datoj tački.

Ako je poznata jačina poљa u nekoj tački, samim tim određena je i sila koja dejstvuje na električno naelektrisaњe koje se nalazi u toj tački. Zato možemo da pišemo:

\begin{equation}
\tag{3}
\vec{F}=q\vec{E}
\end{equation}

Izbor veličine probnog naelektrisaњa je nebitan. Istina, probno naelektrisaњe mora biti dovoљno malo (da ne perturbuje postojeće poљe).

Superpozicija električnih poљa

Posmatrajmo sada ukupno električno poљe dva tačkasta naelektrisaњa, \({{q}_{1}}\) i \({{q}_{2}}\). Neka je \({{\vec{E}}_{1}}\) jačina poљa u tački \(a\) (kada naelektrisaњa \({{q}_{2}}\) uopšte nema), a \({{\vec{E}}_{2}}\) jačina poљa naelektrisaњa \({{q}_{2}}\) (kada naelektrisaњa \({{q}_{1}}\) uopšte nema). Eksperiment pokazuje da je jačina poљa \(\vec{E}\), rezultantnog poљa, kada postoje oba naelektrisaњa, data po pravilu slagaњa vektora (po pravilu paralelograma) (Sl. 2). Drugim rečima, jačina rezultujućeg električnog poљa jeste vektorska suma jačina poљa koja su obrazovana pojedinim naelektrisaњima.

Slagaњe električnih poљa

Sl. 2 Slagaњe električnih poљa

Pravilo vektorskog slagaњa električnih poљa važi ne samo za dva već i za proizvoљan broj naelektrisaњa. Ako su \({{\vec{E}}_{1}}\), \({{\vec{E}}_{2}}\), \({{\vec{E}}_{3}}\)... jačine poљa koje u nekoj tački stvaraju pojedina naelektrisaњa, onda je jačina rezultujućeg poљa u toj istoj tački

\begin{equation}
\tag{4}
\vec{E}={{\vec{E}}_{1}}+\,{{\vec{E}}_{2}}+\,{{\vec{E}}_{3}}+...=\sum\limits_{k}{{{{\vec{E}}}_{k}}}
\end{equation}

Ovo je princip superpozicije električnih poљa i predstavљa važno svojstvo električnog poљa.

Računajući električno poљe pomoću principa superpozicije dobijamo rezultat koji je saglasan sa eksperimentom.

Gustina naelektrisaњa

Priđimo problemu nalažeњu električnog poљa kojeg stvaraju proizvoљna naelektrisana tela.

Za poљe koje potiče od više tačkastih naelektrisaњa primeњujemo formulu za poљe jednog naelektrisaњa, uz princip superpozicije. Tu nema nejasnoća.

Ako je naelektrisano telo toliko veliko pa se ne može posmatrati kao tačkasto naelektrisaњe, prvo tražimo raspodelu naelektrisaњa u telu. Pogledajmo kako:

Uočimo u naelektrisanom telu malu zapreminu \(\Delta \tau \) i sa \(\Delta q\) označimo naelektrisaњe koje se nalazi u toj zapremini. Limes količnika \(\Delta q/\Delta \tau \) kada se zapreminica neograničeno smaњuje naziva se zapreminska gustina naelektrisaњa u datoj tački. Ako je označimo sa \(\rho\) dobijamo

\begin{equation}
\tag{5}
\underset{\Delta \tau \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta q}{\Delta \tau }=\rho
\end{equation}

Količina naelektrisaњa koje se nalazi u elementu zapremine \(d\tau \) iznosi \(\rho d\tau \). U opštem slučaju nehomogeno naelektrisanih tela, \(\rho \) je različito u raznim tačkama tela. Raspodela naelektrisaњa u zapremini tela poznata je ako je \(\rho \) poznato kao funkcija koordinata.

Vrlo često se naelektrisaњa raspodeљuju u telima samo u tankom površinskom sloju. U tom slučaju pogodno je koristiti površinsku gustinu naelektrisaњa koja je, po definiciji,

\begin{equation}
\tag{6}
\underset{\Delta S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta q}{\Delta S}=\sigma
\end{equation}

Ovde je naelektrisaњe koje se nalazi na površi . Količina naelektrisaњa koje se nalazi na elementu površi iznosi . Da bi raspodela naelektrisaњa na površini tela bila zadana, neophodno je znati kao funkciju koordinata površine.

Na sličan način bismo mogli definisati i linijsku gustinu naelektrisaњa. Taj posao prepuštamo čitaocu.

Ako je poznata raspodela naelektrisaњa u telu moguće je naći i električno poљe tih naelektrisaњa. Električno poљe zadanih naelektrisaњa najčešće se, ipak, izvodi izračunavaњem razlike potencijala (računi su prostiji).

Linije sile

Za opisivaњe električnog poљa dovoљno je znati vektor jačine u svakoj tački poљa. Poљe je moguće predstaviti i grafički, koristeći linije sile.

Linija sile, ili linija vektora jačine poљa je liniju na kojoj je tangenta u svakoj њenoj tački ujedno i pravac vektora jačine električnog poљa (Sl. 3). Linija sile ima i svoj smer: na istu stranu kao i jačina.

Da bismo pomoću linija sile predstavili ne samo pravac nego i jačinu poљa, na graficima crtamo linije sile s određenom gustinom, i to tako da broj linija sile koje prolaze kroz jedinicu površi koja je normalna na linije poљa bude proporcionalan jačini poљa na datom mestu.

Crtajući linije sile poљa dobijamo specifične grafike ili karte poљa koje odmah očigledno pokazuju kolika je jačina u raznim delovima poљa i kako se ona meњa u prostoru.

Zato što je veoma očigledan, taj se metod predstavљaњa poљa mnogo primeњuje u elektrotehnici.

K definiciji linije sile

Sl. 3 K definiciji linije sile

Iz rečenog sledi da se linija sile može provući kroz svaku tačku poљa. Daљe, kako u svakoj tački poљa vektor jačine ima sasvim određeni pravac, linije sile se nigde ne presecaju.

Linije sile tačkastog naelektrisaњa; linije sile se završavaju (ili počiњu) na okolnim predmetima na kojima se javљaju indukovana naelektrisaњa

Sl. 4 Linije sile tačkastog naelektrisaњa; linije sile se završavaju (ili počiњu) na okolnim predmetima na kojima se javљaju indukovana naelektrisaњa

Na sl. 4 dat je primer – crtež linija sile punktualnog (tačkastog) naelektrisaњa. Gustina linija sile na bilo kom rastojaњu r od naelektrisaњa jednaka je odnosu ukupnog broja linija sile N koje izlaze iz naelektrisaњa i površine sfere radijusa r, tj. \(N/4\pi r\). Gustina slabi obratno proporcionalno kvadratu rastojaњa od naelektrisaњa, tj. kao i jačina poљa.

Male čestice u električnom poљu

Sl. 5 Male čestice u električnom poљu

Po potrebi, mogu se linije sile crtati i eksperimentalno. Ako se u električnom poљu nađu bilo kakve sitne čestice, na њima će se indukovati naelektrisaњa (Sl. 5, šema levo). Takve čestice premeštaće se pod uticajem međusobnog privlačeњa raznoimenih naelektrisaњa i odbijaњa istoimenih dok se ne poređaju u vidu lanca duž linije sile (Sl. 5, šema desno). U ispitivano poљe unosimo prigodni tečni izolator u koji je ubačen prašak od malih tvrdih čestica; čestice praška obrazuju u električnom poљu skup lanaca koji se protežu od jedne do druge naelektrisane elektrode te se tako reprodukuje forma i položaj linija sile.

Linije sile el-ektričnog poљa izmeđudve raznoimeno naelektrisane kugle

Sl. 6 Linije sile električnog poљa izmeđudve raznoimeno naelektrisane kugle

Na sl. 6 pokazano je električno poљe između dve jednake kuglice, raznoimeno naelektrisane. Predstavљeno poљe pojavљuje se u tom slučaju kada su druga tela koja eventualno okružuju kuglice dovoљno daleko, tj. na rastojaњima koja su znatno veća od rastojaњa među kuglicama.

Razmotrimo još električno poљe oko naelektrisane ploče nad beskonačnom provodnom ravni. Rezultat je dat na Sl. 7.

Električno poљe oko naelektrisane ploče nad površinom provodne ravni

Sl. 7 Električno poљe oko naelektrisane ploče nad površinom provodne ravni

Primetimo da su linije sile normalne na površinu metalnih elektroda. To je i razumљivo. Ako jačina poљa ne bi bila normalna na površinu provodnika, postojala bi komponenta poљa usmerena duž tangente na površini. Pod dejstvom te komponente elektroni provodnosti u provodniku kretali bi se duž površine i ne bi bilo ravnoteže električnih naelektrisaњa.

Električna indukcija. Električni fluks

Uvedimo novu fizičku veličinu, označenu \(\vec{D}\), koju ćemo zvati električna indukcija. (Mnogi je zovu električni pomeraj) Za vakuum, po definiciji je

\begin{equation}
\tag{7}
\vec{D}={{\varepsilon }_{0}}\,\vec{E}
\end{equation}

Električna indukcija na rastojaњu \(r\) od tačkastog naelektrisaњa iznosi

\begin{equation}
\tag{8}
D=\frac{1}{4\pi }\,\frac{q}{{{r}^{2}}}
\end{equation}

vektori \(\vec{D}\) i \(\vec{E}\) imaju isti pravac.

Fluks električne indukcije kroz datu površinu

Sl. 8 Fluks električne indukcije kroz datu površinu

Definišimo fluks vektora električne indukcije. Posmatrajmo u električnom poљu ravnu površinu S i izaberimo određeni pravac \(\vec{n}\) normale na њoj (Sl. 8). Od početka ćemo smatrati da je poљe homogeno ali \(\vec{D}\) čini proizvoљni ugao \(\alpha \) sa pravcem normale. Veličinu

\begin{equation}
\tag{9}
N=SD\,\cos \alpha =S{{D}_{\text{n}}}
\end{equation}

zovemo fluks vektora električne indukcije kroz datu površinu. Ovde je \({{D}_{\text{n}}}\) projekcija vektora \(\vec{D}\) na pravac normale \(\vec{n}\). Primetimo da je ovaj fluks jednak ukupnom broju linija električne indukcije koje prolaze kroz površinu.

Ako je poљe nehomogeno a površina kroz koju se traži fluks nije ravna, tada tu površinu možemo podeliti na beskonačno male elemente \(dS\) i svaki element smatrati ravnim a poљe kroz њega homogeno. Dakle, fluks indukcije kroz element površine jeste \(dN={{D}_{\text{n}}}dS\). Ukupni fluks kroz površinu S u proizvoљnom nehomogenom električnom poљu je onda

\begin{equation}
\tag{10}
N=\int\limits_{S}{{{D}_{\text{n}}}dS}
\end{equation}

Ova veličina je skalar. Fluks je pozitivan ako je \(\cos \alpha >0\). Fluks je negativan pri \(\cos \alpha <0\).

Gausova teorema

Izračunajmo fluks električne indukcije, koja potiče od tačkastog naelektrisaњa \(q\), kroz zatvorenu sfernu površinu \(S\) sa Sl. 9. Naelektrisaњe je u

Uz izvođeњe Gausove teoreme; Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

Sl. 9 Uz izvođeњe Gausove teoreme; Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

centru sfere. Za pozitivni pravac normale uzimamo pravac spoљašњe normale. Isto je \(D\) u svim tačkama sfere i svuda je \(\cos \alpha =1\). Zato je

\begin{equation}
\tag{11}
N=\frac{1}{4\pi }\,\frac{q}{{{R}^{2}}}\,4\pi {{R}^{2}}=q
\end{equation}

Ovaj rezultat važi ne samo za sfernu površinu nego i za proizvoљnu zatvorenu površinu i za proizvoљan položaj naelektrisaњa unutra.

Vidimo, fluks indukcije kroz sfernu površinu ne zavisi od radijusa sfere i jednak je za sferu \({{S}}\) i neku drugu, њoj koncentričnu sferu \({{S}_{1}}\). To znači da su linije indukcije u prostoru između \({{S}}\) i \({{S}_{1}}\) gde nema naelektrisaњa – neprekinute. Linije električnog indukcija počiњu i završavaju se jedino na električnim naelektrisaњima.

Iz neprekidnosti linija indukcije sledi da je ukupan broj linija koje prolaze kroz proizvoљnu površinu \({{S}_{2}}\) (ona obuhvata naelektrisaњe) isti kao i za sfere \({{S}}\) i \({{S}_{1}}\) :

\begin{equation}
\tag{12}
N=\int\limits_{S}{{{D}_{\text{n}}}dS}=q
\end{equation}

Naprotiv, ako zatvorena površina ne obuhvata naelektrisaњe (\({{S}_{3}}\) na Sl. 9), onda je fluks indukcija kroz tu površinu nula pošto je broj linija indukcija koje ulaze u površinu jednak broju linija koje izlaze kroz њu.

Vidimo: fluks kroz zatvorenu površinu ne zavisi od položaja naelektrisaњa u prostoru koji ograničava površina. To znači da dobijeni rezultat važi ne samo za jedno naelektrisaњe no i za proizvoљan broj proizvoљno lociranih naelektrisaњa, kada pod q treba razumeti algebarsku sumu svih naelektrisaњa koja se nalaze unutra.

Formula (11) predstavљa Gausovu teoremu:

Fluks električne eidukcije kroz zatvorenu površinu jednak je algebarskoj sumi svih naelektrisaњa koja se nalaze unutra.

Primetimo da smo pri dokazivaњu teoreme pošli od Kulonovog zakona. Zato je ona posledica tog zakona.

Očigledno je jedinica za mereњe fluksa indukcije, kao i za naelektrisaњe, kulon. Zakљučujemo da se električna indukcija meri jedinicom kulon po kvadratnom metru (\(\text{C/}{{\text{m}}^{\text{2}}}\)).

Razmotrimo neke proste primere izračunavaњa električnog poљa pomoću Gausove teoreme.

Homogeno naelektrisana ravan

Neograničena ravan je homogeno naelektrisana; površinska gustina naelektrisaњa je \(\sigma \). Iz simetrije zadatka zakљučujemo da su linije indukcije vertikalne na ravan, Sl. 10.

Električno poљe homogeno naelektrisane ravni

Sl. 10 Električno poљe homogeno naelektrisane ravni

Zatvorenu površinu izabraćemo tako da predstavљa pravi cilindar normalan na naelektrisanu ravan, ograničen sa dve ravne osnove koje su normalne na linije sile a nalaze se sa raznih strana naelektrisane ravni. Fluks indukcije kroz omotač cilindra jednak je nuli (jer je \(\cos \alpha =0\)); ukupni fluks kroz cilindar jednak je zbiru flukseva kroz њegove osnove: \(N=2DS\). Ukupno naelektrisaњe u cilindru jednako je \(\sigma S\). Sada je iz Gausove teoreme

\begin{equation}
\tag{13}
2DS=\sigma S
\end{equation}

odakle je \(D=\sigma /2\). Jačina poљa homogeno naelektrisane ravni u vakuumu je

\begin{equation}
\tag{14}
E=\frac{1}{2{{\varepsilon }_{0}}}\sigma
\end{equation}

Površina naelektrisanog provodnika

Potražimo jačinu poљa u blizini površine metala, ako se naelektrisaњa na њemu nalaze u staњu ravnoteže.

Nema električne struje; linije sile normalne su na površinu provodnika. Jačina poљa u provodniku jednaka je nuli. (Inače bi tekla struja.)

Električno poљe blizu površine naelektrisanog provodnika

Sl. 11 Električno poљe blizu površine naelektrisanog provodnika

Uočimo na površini provodnika beskonačno mali elemenat površine \(dS\) i označimo površinsku gustinu naelektrisaњa na elementu sa \(\sigma \). Kao zatvorenu površinu izaberimo ponovo pravi cilindar sa osnovama \(dS\) i beskonačno malom visinom \(dh\). U datom slučaju nužno je posmatrati beskonačno mali element provodnika jer se u opštem slučaju \(\sigma \) meњa od tačke do tačke površine. Visina cilindra takođe mora biti beskonačno mala jer u slučaju provodnika proizvoљne forme linije indukcija će biti normalne na površinu provodnika jedino u њenoj neposrednoj blizini. U ovom slučaju ukupni fluks indukcije jednak je fluksu kroz jednu osnovu:

\begin{equation}
\tag{15}
DdS=\sigma dS
\end{equation}

Zato je

\begin{equation}
\tag{16}
D=\sigma E=\frac{\sigma }{{{\varepsilon }_{0}}}
\end{equation}

Blizu površine \(D\) je baš jednako površinskoj gustini naelektrisaњa. Zato mnogi fizičari i govore električni pomeraj umesto električna indukcija.

Ravni kondenzator

Ravni kondenzator skiciran je na Sl. 12. Javi li se na jednoj oblozi naelektrisaњe gustine +, javiće se neminovno na onoj drugoj gustina suprotnog znaka, –. Ta naelektrisaњa, zbog uzajamnog privlačeњa, koncentrišu se na unutrašњim površinama obloga. Naelektrisana ravan, kako smo videli,

Električno poљe u ravnom kondenzatoru je zbir poљa naelektrisanih ravni њegovih obloga

Sl. 12 Električno poљe u ravnom kondenzatoru je zbir poљa naelektrisanih ravni њegovih obloga

daje jačinu \(\pm \sigma /2{{\varepsilon }_{0}}\). U metalnim pločama i van kondenzatora ta poљa su suprotno upravљena i u zbiru daju nulu. U kondenzatoru, naprotiv, ta su poљa istog smera i sabiraju se pa daju jačinu \(\sigma /{{\varepsilon }_{0}}\). Električno poIje je homogeno u središњem delu ravnog kondenzatora.

Homogeno naelektrisana kugla

Posmatrajmo električno poљe između dve sferne koncentrične elektrode (Sl. 13). Takav sistem elektroda se zove sferni kondenzator.

Električno poљe sfernog kondenzatora

Sl. 13 Električno poљe sfernog kondenzatora

Ako uzemљimo spoљašњu elektrodu i unutrašњoj kugli dovedemo naelektrisaњe \(+q\), na spoљašњoj elektrodi se pojavљuje indukovano naelektrisaњe \(-q\). Pod uticajem uzajamnog privlačeњa ta naelektrisaњa se raspodeљuju po površini unutrašњe kugle i po unutrašњoj površini spoљašњe elektrode.

Naelektrisaњa se raspodeљuju ravnomerno (simetrična konfiguracija) a linije indukcija su radijalne prave. Zato je za zamišљenu zatvorenu površinu zgodno uzeti koncentričnu sferu radijusa \(r\). Tada Gausova teorema daje:

\begin{equation}
\tag{17}
N=D\,4\pi {{r}^{2}}=q
\end{equation}

odakle je

\begin{equation}
\tag{18}
E=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\,\frac{q}{{{r}^{2}}}
\end{equation}

Rezultat ne zavisi od poluprečnika spoљašњe obloge kondenzatora. Pri tome, ako je spoљašњa elektroda mnogo veća od unutrašњe, električno poљe blizu unutrašњe kugle ne zavisi ni od oblika spoљašњe elektrode. Shodno tome, kada ulogu spoљašњe elektrode igraju razni udaљeni uzemљeni predmeti, na primer zidovi, pod i tavanica sobe, formula (14) važi u blizini kugle. Tada se prosto govori o poљu naelektrisane kugle, ne specificira se šta je zapravo druga elektroda.

Električno poљe kugle koja je ravnomerno naelektrisana po površini poklapa se, u spoљašњem prostoru, sa poљem tačkastog naelektrisaњa koje je jednako ukupnom naelektrisaњu kugle i koje je locirano u centru kugle.

Ako bismo posmatrali kuglu koja je homogeno naelektrisana po zapremini, jačina poљa van kugle takođe bi bila data formulom (18). No jačina poљa u kugli, u ova dva slučaja, različita je. U slučaju kugle koja je ravnomerno naelektrisana po površini jačina poљa u ma kojoj tački u unutrašњosti je jednaka nuli. Ako je kugla naelektrisana ravnomerno po zapremini onda je jačina poљa jednaka nuli jedino u centru kugle a sa povećaњem rastojaњa od centra raste proporcionalno sa \(r\).

Cilindrični kondenzator

Daćemo bez dokaza formulu za jačinu električnog poљa između dva koaksijalna metalna cilindra. Takav sistem se naziva cilindrični kondenzator.

Jačina poљa između cilindričnih naelektrisanih elektroda, u tački koja je na rastojaњu od ose cilindara, jednaka je

\begin{equation}
\tag{19}
E=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\,\frac{{{q}_{1}}}{r}
\end{equation}

Ovde je \({{q}_{1}}\) naelektrisaњe obloge po jedinici dužine. Ovaj izraz važi za sve delove kondenzatora koji nisu suviše blizu krajeva. On se može primeњivati praktično već na onim rastojaњima od kraja koja su reda dijametra spoљašњeg cilindra.

Formula (19) dobra je i za poљe oko žice koja je podaљe od okolnih predmeta.

Električni dipol

 

Posmatrajmo dva tačkasta naelektrisaњa \(+q\) i \(-q\) na fiksnom rastojaњu \(\ell \). Definišimo odmah i vektor \(\vec{\ell }\) koji je usmeren od negativnog ka pozitivnom naelektrisaњu. Takav par naelektrisaњa zovemo električni dipol.

Dipol u spoљašњem homogenom poљu

Sl. 14 Dipol u spoљašњem homogenom poљu

Električni dipol je čest model u fizici. Malo provodno telo u električnom poљu može se približno tretirati kao dipol jer se na krajevima tela pojavљuju indukovana naelektrisaњa jednaka po intenzitetu a raznoimena. Slična naelektrisaњa se javљaju i u dielektricima i zato malo dielektrično telo u električnom poљu takođe možemo posmatrati kao dipol. Najzad, mnogi molekuli sagrađeni su iz pozitivnih i negativnih jona čiji su centri pomereni jedan u odnosu na drugi. Takve molekule u mnogim slučajevima možemo tretirati kao dipole.

Nađimo silu koja deluje na dipol u homogenom električnom poљu. Na krajevima dipola, Sl. 14, deluju sile jednakog intenziteta \(F=qE\), gde je \(E\) jačina spoљašњeg poљa. Te su sile suprotno usmerene i obrazuju spreg sila. Moment \(M\) tog sprega je

\begin{equation}
\tag{20}
M=qE\ell \,\sin \alpha
\end{equation}

gde je \(\alpha \) ugao između vektora \(\vec{\ell }\) i jačine poљa \(\vec{E}\).

Vidimo da moment sprega sila zavisi od proizvoda naelektrisaњa q i dužine dipola \(\ell \). Taj proizvod zovemo dipolni moment. Po definiciji je vektor dipolnog momenta

\begin{equation}
\tag{21}
\vec{p}=q\vec{\ell }
\end{equation}

Jedinica za mereњe dipolnog momenta jeste kulonmetar (Cm). Koristeći pojam dipolnog momenta možemo napisati izraz za moment sprega sila koji deluje na dipol u obliku

\begin{equation}
\tag{22}
M=pE\sin \left( \vec{p},\,\vec{E} \right)
\end{equation}

Pravac momenta tog sprega poklapa se sa pravcem ose rotacije dipola, tj. normalan je na \(\vec{p}\) i \(\vec{E}\).

Kao što je poznato iz vektorske algebre, vektorski proizvod \(\vec{a}\times \vec{b}\) dva vektora \(vec{a}\) i \(vec{b}\) jeste vektor čiji je intenzitet \(a\,b\,\sin \left( \vec{a},\,\vec{b} \right)\), tj. jednak površini paralelograma konstruisanog sa vektorima \(vec{a}\) i \(vec{b}\) kao stranicama. Taj vektor normalan je na \(vec{a}\) i \(vec{b}\) a smer mu se određuje po pravilu desnog zavrtњa koji se vrti od \(vec{a}\) ka \(vec{b}\) . Dakle, vektor momenta sprega sila koji dejstvuje na dipol može da se prikaže formulom

\begin{equation}
\tag{23}
\vec{M}=\vec{p}\times \vec{E}
\end{equation}

Vidimo da na dipol u homogenom poљu deluje jedino spreg sila koji teži da okrene dipol tako da \(\vec{p}\) ka \(\vec{E}\) budu paralelni.

Da bismo zarotirali dipol u električnom poљu za neki ugao, moramo izvršiti određeni rad protiv sila poљa. Pošto je taj rad jednak povećaњu potencijalne energije dipola, to znači da možemo naći izraz za potencijalnu energiju dipola u električnom poљu. Uzmimo da nultu energiju ima dipol koji je normalan na pravac poљa (kad je \(\alpha ={\pi }/{2}\)). Tada je potencijalna energija dipola

\begin{equation}
\tag{24}
W=\int\limits_{{\pi }/{2}\;}^{\alpha }{pE\,\sin \alpha \,d\alpha }=-pE\,\cos \alpha
\end{equation}

Posmatrajmo sada dipol u nehomogenom poљu i stavimo jednostavnosti radi da je dipolni moment paralelan pravcu poљa (\(\alpha =0\), Sl. 15). U tom slučaju su sile koje deluju na krajevima dipola nejednake: њihova rezultanta nije jednaka nuli. Na dipol u nehomogenom poљu deluje sila koja teži da premešta dipol u oblast jačeg poљa.

Dipol u nehomogenom poљu

Sl. 15 Dipol u nehomogenom poљu

Nađimo intenzitet sile. Dipolni je moment duž ose \(x\). Dužina dipola \(\Delta \ell \) je veoma mala (elementarni dipol). Sila koja deluje na negativni kraj dipola je \(-qE\), gde je \(E\) jačina poљa tamo gde je locirano \(-q\). Sila koja deluje na pozitivni kraj dipola iznosi \(+q\left[ E+\left( {dE}/{dx}\; \right)\Delta \ell \right]\). Zato je ukupna sila

\begin{equation}
\tag{25}
F=q\left( E+\frac{dE}{dx}\Delta \ell -E \right)=q\Delta \ell \frac{dE}{dx}=p\frac{dE}{dx}
\end{equation}

Ako se dipol nalazi u nehomogenom poљu i nije paralelan poљu, na њega deluje i spreg sila koji teži da okrene dipol paralelno poљu i sila koja vuče dipol u oblast jačeg poљa. Ove složenije konfiguracije nećemo ovde izučavati.

Оставите одговор